數(shù)學(xué)是大部分學(xué)科的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中，哲學(xué)思想在啟蒙時(shí)期有非常重要的意義。早期發(fā)展中的柏拉圖哲學(xué)思想，后期發(fā)展中的哥德?tīng)栒軐W(xué)思想，給數(shù)學(xué)帶來(lái)了革命性的變化;維特根斯坦哲學(xué)在后來(lái)數(shù)學(xué)衍生的計(jì)算機(jī)技術(shù)上起到奠基作用。下面文章對(duì)柏拉圖、哥德?tīng)柡途S特根斯坦的哲學(xué)思想進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，并闡述其對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。

　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)哲學(xué),柏拉圖,哥德?tīng)?維特根斯坦

　　一、前言

　　數(shù)學(xué)是大部分學(xué)科的基礎(chǔ)，是一種思想的衍生，在很多學(xué)科中都有非常具體的體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，哲學(xué)思想有很重要的價(jià)值，例如柏拉圖學(xué)派。早期柏拉圖在數(shù)學(xué)方面提出“理念論”與數(shù)學(xué)的抽象性，這種抽象性是純粹的數(shù)學(xué)概念，如“對(duì)角線”的概念。與此同時(shí)，柏拉圖也進(jìn)行了抽象化的研究，如對(duì)正方形的研究，這種抽象的研究奠定了柏拉圖學(xué)派在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的光輝成就。柏拉圖也提出了認(rèn)識(shí)論，推動(dòng)了數(shù)學(xué)公理化的發(fā)展。

　　他在認(rèn)識(shí)論上排斥了感覺(jué)，雖然并不認(rèn)可感覺(jué)的真實(shí)性，但這種認(rèn)為感覺(jué)不可靠的認(rèn)識(shí)，對(duì)于數(shù)學(xué)公理化的發(fā)展起到極為重要的作用。同時(shí)，柏拉圖自身所處的社會(huì)大環(huán)境(貴族環(huán)境)導(dǎo)致其哲學(xué)觀對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起到了一定的束縛作用。柏拉圖思想的高度唯心化，使他提出“數(shù)學(xué)與應(yīng)用應(yīng)該分離，數(shù)學(xué)是為了訓(xùn)練心靈”這種過(guò)于高尚的語(yǔ)論，導(dǎo)致后來(lái)希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的不平衡(代數(shù)學(xué)和幾何發(fā)展的差距)。這種過(guò)分的藝術(shù)話，最終種下了死亡的種子。

　　柏拉圖之后，柏拉圖學(xué)派一分為三。最強(qiáng)的柏拉圖主義以哥德?tīng)枮槭祝瑥?qiáng)調(diào)傳統(tǒng)立場(chǎng)，對(duì)悖論的出現(xiàn)不以為然;最弱柏拉圖主義，在悖論上做出妥協(xié)，后來(lái)羅素、維特根斯坦等人也持同

　　樣的思想;折中的溫和(狹義)柏拉圖主義以貝爾內(nèi)斯為代表，放棄了抽象立場(chǎng)，主張對(duì)象的理想概念。本文將從柏拉圖、哥德?tīng)枴⒕S特根斯坦三人的哲學(xué)思想來(lái)闡述數(shù)學(xué)發(fā)展史中的哲學(xué)思想。

　　二、主要哲學(xué)思想介紹

　　1.柏拉圖的哲學(xué)思想

　　柏拉圖在哲學(xué)上強(qiáng)調(diào)理念論，強(qiáng)調(diào)人們的形式和觀念形成一個(gè)客觀的世界，又被稱(chēng)為“理念世界”。這種理念是永恒不變的，是一些事物的“范型”。柏拉圖認(rèn)為世界的一切都是由人們看到的事物產(chǎn)生一種認(rèn)識(shí)，當(dāng)看到的更多時(shí)則會(huì)刷新這種認(rèn)識(shí)或者形成一種更全面的認(rèn)識(shí)。這種哲學(xué)思想被柏拉圖運(yùn)用在早期數(shù)學(xué)研究上，使他開(kāi)始思考數(shù)學(xué)感覺(jué)。感覺(jué)也是一種看到的認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)在數(shù)學(xué)上會(huì)因?yàn)榭吹降酶�多而被刷新，進(jìn)而出現(xiàn)認(rèn)識(shí)的錯(cuò)誤，所以柏拉圖在數(shù)學(xué)上排斥感覺(jué)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念不依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn)。

　　從他在《國(guó)家篇》中的言論“他們所研究的并不是他們畫(huà)的特殊圖形特殊對(duì)角線，而是其本身”中可以看出，柏拉圖的思想排斥感覺(jué)，他認(rèn)為所畫(huà)的特殊圖形就是一種感覺(jué)，而感覺(jué)是不可靠的，科學(xué)研究應(yīng)研究事物的本身，而不是我們看到的特殊圖形。因而在數(shù)學(xué)上，柏拉圖提出抽象化的觀點(diǎn)，與數(shù)學(xué)的本身高度抽象性一致。數(shù)學(xué)的研究也是抽象的研究，反映了現(xiàn)實(shí)社會(huì)數(shù)量關(guān)系和空間形式。在數(shù)學(xué)抽象性上，柏拉圖的抽象化觀點(diǎn)很好地與數(shù)學(xué)相吻合，從而對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到推進(jìn)作用。對(duì)于感覺(jué)的思考，柏拉圖形成了他的認(rèn)識(shí)論。

　　正如前文所說(shuō)，特殊圖形在柏拉圖眼里都是一個(gè)特殊的事物，考慮到認(rèn)識(shí)可能會(huì)被刷新，所以他不認(rèn)為這個(gè)是真實(shí)知識(shí)的源泉，認(rèn)為真實(shí)的知識(shí)是人們對(duì)理念的一種回憶，排除了特殊性。這種對(duì)感覺(jué)的否定或者說(shuō)是對(duì)感覺(jué)的不認(rèn)可，在任何時(shí)期都有非常重要的意義。柏拉圖主張數(shù)學(xué)就是提出一些假定前提，如平行和對(duì)稱(chēng)，從嚴(yán)格的邏輯推理中得到預(yù)期的結(jié)論。這種主張與日后數(shù)學(xué)公理化的主張類(lèi)似，公理是少量的基本概念公理，應(yīng)用嚴(yán)格的邏輯推理，形成演繹的系統(tǒng)。很明顯，柏拉圖的主張與數(shù)學(xué)公理化吻合，柏拉圖哲學(xué)思想是數(shù)學(xué)公理化的一個(gè)開(kāi)端，奠定了基礎(chǔ)。

　　2.哥德?tīng)柕恼軐W(xué)思想

　　哥德?tīng)柕恼軐W(xué)思想是數(shù)學(xué)柏拉圖主義的一個(gè)分支，因?yàn)榧�合論悖論的出現(xiàn)，數(shù)學(xué)柏拉圖主義出現(xiàn)分歧。哥德?tīng)栒J(rèn)為存在一個(gè)所有數(shù)學(xué)的對(duì)象關(guān)系的理想對(duì)象世界，他為柏拉圖主義辯護(hù)：“既然有客觀性，那就一定有(數(shù)學(xué))對(duì)象存在。”他將數(shù)學(xué)里的這層關(guān)系上升到了直覺(jué)論。

　　他的數(shù)學(xué)實(shí)體是柏拉圖式的純粹，不在物理上也不在心靈上，是一種抽象實(shí)體。哥德?tīng)栒軐W(xué)對(duì)數(shù)學(xué)的主要研究方向?yàn)槌橄髮?shí)體，他對(duì)實(shí)體有三個(gè)非常重要的論證。第一，證明了數(shù)學(xué)不是一種約定，批評(píng)了之前數(shù)學(xué)約定論的不合理性;第二，批評(píng)了算法主義，同時(shí)解釋了哥德?tīng)柖ɡ砗?/p>

　　判定機(jī)器能否思維這一問(wèn)題;第三，論證他的直覺(jué)論，說(shuō)明數(shù)學(xué)直覺(jué)的不可消除性。哥德?tīng)柕闹庇X(jué)論對(duì)他十分重要，在他之后探究的所有領(lǐng)域中都有對(duì)直覺(jué)論的應(yīng)用。哥德?tīng)栂矚g運(yùn)用數(shù)學(xué)直覺(jué)來(lái)論證獨(dú)特性。

　　哥德?tīng)栐谥庇X(jué)論中曾說(shuō)過(guò)：“對(duì)于那些公理，不存在合理的基礎(chǔ)，除了要么它們可以直接被知覺(jué)到是真的，要么它們以歸納論證為基礎(chǔ)被假設(shè)，比如在他們使用過(guò)程中的成功為基礎(chǔ)。”這是一種形而上學(xué)的思想，在直覺(jué)上他認(rèn)為，真理是概念構(gòu)成了自身的一個(gè)客觀事實(shí)，不可能創(chuàng)造和改變，只能用知覺(jué)來(lái)描述。哥德?tīng)柕恼軐W(xué)在抽象上進(jìn)入了數(shù)學(xué)哲學(xué)，所以他會(huì)被當(dāng)時(shí)胡賽爾建立的現(xiàn)象學(xué)吸引。

　　哥德?tīng)栂Ｍ�證明某些數(shù)學(xué)直覺(jué)的存在可以與柏拉圖實(shí)體結(jié)合，能夠證明柏拉圖實(shí)體的存在，如：說(shuō)明數(shù)學(xué)直覺(jué)確實(shí)存在，說(shuō)明這些直覺(jué)是不可消滅的，證明其獨(dú)立性，證明這種直覺(jué)與

　　其他直覺(jué)的不同。在數(shù)學(xué)上看，哥德?tīng)枏?qiáng)調(diào)直覺(jué)在數(shù)學(xué)上的重要性，來(lái)捍衛(wèi)他的柏拉圖主義。

　　3.維特根斯坦的哲學(xué)思想

　　維特根斯坦是一個(gè)矛盾主義家，他的哲學(xué)思想分為兩個(gè)部分：第一，在數(shù)學(xué)柏拉圖主義上提出符號(hào)化。對(duì)于悖論這個(gè)問(wèn)題，維特根斯坦認(rèn)為悖論也是數(shù)學(xué)，沒(méi)必要絕對(duì)清除悖論，認(rèn)可這種矛盾是維特根斯坦的哲學(xué)思想，就像他自己說(shuō)的，矛盾不是絕對(duì)的錯(cuò)誤。第二，他也一定程度上反對(duì)柏拉圖主義。維特根斯坦主張?jiān)跀?shù)學(xué)中人的主觀能動(dòng)性，他不像柏拉圖一樣把數(shù)學(xué)過(guò)于高尚化(柏拉圖認(rèn)為數(shù)學(xué)與邏輯是獨(dú)立的)，而是認(rèn)為數(shù)學(xué)是人思考后的產(chǎn)物，是直覺(jué)對(duì)人思考影響后的構(gòu)造。之后他將形而上學(xué)轉(zhuǎn)向語(yǔ)言化，又認(rèn)可直覺(jué)的作用。第三，支持潛無(wú)窮的觀點(diǎn)，摒棄實(shí)無(wú)窮的思想。這源于他的直覺(jué)主義，使之反對(duì)實(shí)無(wú)窮。他提出的符號(hào)邏輯在后來(lái)成了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)。

　　4.數(shù)學(xué)哲學(xué)思想在數(shù)學(xué)發(fā)展中的影響

　　在柏拉圖的哲學(xué)思想里，抽象化的思想對(duì)數(shù)學(xué)公理化起到了奠定作用。數(shù)學(xué)柏拉圖主義對(duì)數(shù)學(xué)邏輯做出了五個(gè)方面的貢獻(xiàn)：第一，建立了完備、一致的經(jīng)典演繹;第二，構(gòu)建了集合論;第三，提出了無(wú)窮集合觀;第四，集合論的悖論得到初步解決;第五，參與了證明論、遞歸論與模型論的創(chuàng)建工作。然而，柏拉圖自己身處的社會(huì)環(huán)境使得他的一些思想對(duì)后來(lái)數(shù)學(xué)的發(fā)展有抵制作用。柏拉圖出生在貴族奴隸主的家庭，其哲學(xué)思想目的是為了他所在的階級(jí)服務(wù)，所以他會(huì)編造神學(xué)，把人分割成各種階級(jí)。當(dāng)時(shí)的社會(huì)環(huán)境統(tǒng)治者對(duì)工商業(yè)不屑一顧，柏拉圖也不例外。

　　他反對(duì)數(shù)學(xué)與應(yīng)用相結(jié)合，看重于理論世界，認(rèn)為數(shù)學(xué)不是用來(lái)指導(dǎo)人們改造自己的世界、提升生活品質(zhì)，而是用來(lái)給自己凈化靈魂。這使得希臘數(shù)學(xué)在代數(shù)學(xué)和幾何上出現(xiàn)嚴(yán)重的不對(duì)稱(chēng)，后來(lái)幾何學(xué)已經(jīng)發(fā)展成系統(tǒng)性科學(xué)，而代數(shù)學(xué)還在直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)階段。數(shù)學(xué)柏拉圖主義的高度藝術(shù)化，或者說(shuō)為了藝術(shù)而藝術(shù)的思想，給數(shù)學(xué)柏拉圖主義留下了禍根。

　　維特根斯坦推動(dòng)了第二次語(yǔ)言學(xué)的轉(zhuǎn)向，其形式邏輯、符合邏輯、邏輯哲學(xué)對(duì)日后有很大的作用。如今的現(xiàn)代計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)就是維特根斯坦的符號(hào)邏輯，其日常語(yǔ)言哲學(xué)對(duì)后世影響很大。維特根斯坦的早年思想和后來(lái)的思想差距懸殊(早期邏輯主義，后期日常用語(yǔ)哲學(xué))，但是有一個(gè)主張沒(méi)有變，就是認(rèn)識(shí)不可能超過(guò)經(jīng)驗(yàn)。在維特根斯坦看來(lái)，悖論是從語(yǔ)言混亂而來(lái)，數(shù)學(xué)里也有矛盾。

　　四、小結(jié)

　　柏拉圖和哥德?tīng)柕恼軐W(xué)思想在日后數(shù)學(xué)發(fā)展上有著非常重要的作用，維特根斯坦的日常語(yǔ)言哲學(xué)在后來(lái)計(jì)算機(jī)技術(shù)上也有舉足輕重的作用。哲學(xué)是數(shù)學(xué)的起初，人們發(fā)展科學(xué)無(wú)非是認(rèn)識(shí)世界。就像高斯所說(shuō)的“數(shù)學(xué)是上帝的語(yǔ)言”一樣，哲學(xué)是人類(lèi)第一個(gè)去認(rèn)識(shí)世界的學(xué)科，數(shù)學(xué)與哲學(xué)之間必然有相連性。數(shù)學(xué)是探究數(shù)、形、體的科學(xué)，從數(shù)學(xué)柏拉圖主義中可以看出，柏拉圖哲學(xué)在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中有著重要意義，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

　　但是他反對(duì)理論與實(shí)際，對(duì)數(shù)學(xué)在應(yīng)用中的發(fā)現(xiàn)動(dòng)力進(jìn)行了堵塞，這是柏拉圖主義的教訓(xùn)。哥德?tīng)柕臄?shù)學(xué)直覺(jué)論給后來(lái)數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了革命性的變化，哥德?tīng)柌煌耆�性理論有跨時(shí)代的意義，也使得哥德?tīng)柍蔀橐晃焕锍瘫�式的�?shù)學(xué)家與邏輯學(xué)家。維特根斯坦的日常用語(yǔ)哲學(xué)對(duì)于數(shù)學(xué)后來(lái)衍生的計(jì)算機(jī)科學(xué)起到了奠基作用，其意義不用言說(shuō)。從數(shù)學(xué)史可以看出，哲學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)有著非常重大的影響，數(shù)學(xué)的發(fā)展與哲學(xué)的發(fā)展相輔相成，互相促進(jìn)，通過(guò)對(duì)哲學(xué)的研究與學(xué)習(xí)，能夠加深對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的理解與思考。

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