摘要：結合傳世文獻和出土算術類簡牘，證明秦漢時期普通受教育者的數學知識以九九乘法為主，會簡單的四則運算。在此基礎上，借助算籌，他們可以實現稍微復雜的整數乘除運算。岳麓秦簡《數》、張家山漢簡《算數書》、北大簡《算數書》和《九章算術》等數學文獻，不代表普通受教育者的數學水平。當需要用到更深的知識時，普通受教育者往往采用套用算題的方法，而不是深入學習。

　　關鍵詞：普通受教育者;數學水平;九九乘法

　　本文想要探討的問題是：在秦漢時期，普通受教育者的數學水平是什么樣的?岳麓秦簡《數》、張家山漢簡《算數書》、清華簡《算表》、北大簡《算數書》等出土數學文獻，是否反映了普通受教育者的數學水平?本文討論的普通受教育者，是指受過基礎教育的人，并非文盲，也并非專業研習數學的學者。考慮到秦漢時期受教育者的比例不會很高，本文所指普通受教育者，在人口中的比例也不會很高，但卻會是所有受教育者中的大多數。

　　一、秦漢時期普通受教育者的數學知識推測

　　學校教育，是普通受教育者獲得數學知識的最重要的途徑，可以在很大程度上體現大多數普通受教育者的數學水平。因此，要解答這個問題，首先需要了解秦漢普通受教育者的數學教育。

　　(一)西漢中后期到東漢的數學教育研究漢代教育史的學者們普遍注意到，《四民月令》對漢代普通受教育者所學知識有較為詳細的介紹，其文為：(正月)農事未起，命成童(本注：謂十五以上至二十)以上入大學，學五經;師法求備，勿讀書傳。研凍釋，命幼童(本注：謂十歲以上至十四)入小學，學篇章(本注：謂《六甲》、《九九》、《急就》、《三倉》之屬)。[1](P9)(八月)暑小退，命幼童入小學，如正月焉。[1](P60)(十月)農事畢，命成童以上入大學，如正月焉。[1](P68)(十一月)研水凍，命幼童讀《孝經》、《論語》、篇章、小學。[1]

　　(P71)從中可以看出，當時的教育分為“大學”和“小學”兩種。“大學”學的是五經，“小學”學的是《六甲》、《九九》、《急就篇》、《三倉》、《論語》、《孝經》等。從這段記載中，可見普通受教育者在10到14歲的“小學”期間，集中學數學，所學內容主要為《九九》。九九是先秦秦漢時期較為常見的概念，又稱九九數、九九之數、九九之術、九九歌等，即今日的九九乘法表(順序與今日的九九乘法表相反，且缺少跟1有關的9條)。

　　由于乘法是以加法為基礎的，因而學會九九的人，應該也會簡單的整數四則運算。九九在當時有兩個特征：基礎，重要。先說九九的基礎地位。《韓詩外傳》、《說苑》等文獻都曾記載，齊桓公曾經廣泛招募人才，齊國有一位“東野”邊鄙之人，以九九求見。“東野”一詞，值得注意。齊國西邊與魯國接壤，中間為首都，均屬于經濟、文化較為發達的地區，唯有東部較為落后。

　　這應該就是古人喜歡用“東野”、“齊東野語”之類的詞，來形容粗俗之人的原因。所以，這位“東野”邊鄙之人，實際上代表了齊國落后地區的小有知識之人，所學較為淺薄。齊桓公當然知道這一點，直接指出九九是非常基礎的知識，不足以被接見，邊鄙之人也自認為“夫九九，薄能耳”。[2](P100-101)[3](P187-188)這和《四民月令》的記載也是一致的：九九是幼童所學，受過一定教育的人都會，所以被認為“薄能”，不足見。從另一方面來說，九九又很重要。比如，《管子·輕重篇》稱：“伏羲……作九九之數以合天道，而天下化之。”[4](P1507)《周髀算經》稱：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”[5]

　　(P1-2)九九被推崇到“合天道”、算數起源的高度，這是因為九九是進行籌算的基礎，是整個數學的基礎，也是因為當時算數和術數聯系非常緊密，是究天人之際的基礎知識。考慮到當時人們的精神信仰，后者恐怕是更為重要的。《四民月令》反映的顯然是西漢中后期尊儒以后的情況。秦、西漢前期并不會以《孝經》、《論語》、五經等儒家經典為學習的主要內容。那么，這段記載能否說明秦、西漢前期甚至秦朝、戰國時期的情況呢?不管朝廷是以法家思想、黃老思想還是儒家思想作為官方指導思想，識字、識數這種最基礎、又和官方指導思想沒有沖突的教育，應該不會有本質上的變化。也就是說，《四民月令》中記載的識字和九九教育，很可能是貫穿整個秦漢時期的。當然，還需要更多的證據，來進一步證明這一點。

　　(二)出土秦漢數學文獻中所體現的數學教育

　　出土秦漢簡牘中多有九九簡，學者們已經有過不少論述。值得注意的是，這其中體現了通過自學獲得數學知識的情況。邢義田先生指出，漢代西北竹簡里有不少關于九九乘法表的習字簡，這表明吏卒們“能書、知計算和知律令的能力并不是擔任這些職務以前就必然具備，而是在擔任職務的過程里逐漸學會的”，而九九乘法表“無疑是最基本的……算書。”[6](P585-587)這說明對于秦漢時期的普通受教育者來說，九九乘法表是數學自學的主要內容。通過分析反映了秦漢之際數學成就的《數》、《算數書》等出土文獻的內容，也可以得出同樣的結論。

　　比如，“《算數書》是一部數學問題集”，[7(]P12)看似奇怪的是，這部問題集卻不是以問題開頭的，而是以簡單的分數乘法和整數乘法開始：相乘寸而乘寸，寸也;乘尺，十分尺一也;乘十尺，一尺也;乘百尺，十尺也;乘千尺，百尺也。半【分寸】乘尺，廿分尺一也;三分寸乘尺，卅分尺一也;四分寸乘尺，四十分尺一也;五分寸乘尺，五十分尺一也;六分寸乘尺，六十分尺一也;七分寸乘尺，七十分尺一也;八分寸乘尺，八十分尺一也。一半乘一，半也;乘半，四分一也。

　　三分而乘一，三分一也;乘半，六分一也;乘三分，九分一也。四分而乘一，四分一也;乘半，八分一也;乘三分，十二分一也;乘四分，十六分一也。五分而乘一，五分一也;乘半，十分一也;乘三分，十五分一也;乘四分，廿分一也;乘五分，廿五分一也。乘分之術曰：母相乘為法，子相乘為實。乘一乘十，十也;十乘千，萬也;十乘萬，十萬也;百乘萬，百萬;千乘萬，千萬。一乘十萬，十萬也;十乘十萬，百萬。一乘百萬，百萬;十乘百萬，千萬。半乘百萬，五十;半乘千，五百;半乘萬，五千。[7](P37-38)《算數書》之所以先不講算題，而是要講整數、分數乘法，是因為，讀者需要獲得某些基礎知識，才能進行相關的學習與應用。

　　這些乘法運算沒有一條是九九乘法，但又和九九具有一定的關聯，難度也差不多，這顯然是因為《算數書》默認讀者已經會了九九，要在九九的基礎上進行一定的知識擴充——正因如此，它才寫了“一乘十，十也”、“一乘十萬，十萬也”這種簡單的整數乘法，卻不寫九九乘法。正因如此，它才會告訴讀者，二分之一乘以三分之一，結果為六分之一，而不必寫“二三而六”。由此可見，九九是一般受教育者都會的知識，至于九九之外的數學知識，哪怕是跟九九有關、難度也差不多，也不一定會被普通受教育者掌握。所以，《算數書》才要在九九的基礎上進行知識擴充。

　　《數》也存在類似的情況，而且更能說明問題。由于《數》的編排次序已經被打亂，無法恢復原貌。但明顯可以看到一些在九九基礎上，進行簡單引申的內容：乘三分，二三而六，六分一也;半乘半，四分一也;四分乘四分，四四十六，十六分一也;少半乘一，少半也。三分乘四分，三四十二，十二分一也。三分乘三分，三三而九，九分一也;少半乘十，三又少半也;五分乘六分，五六卅，卅分之一也。五分乘五分，五五廿五，廿五分一也。

　　四分乘五分，四五廿，廿分一也。[8](P74-75)《數》中出現了九九的部分內容。但是，這些算題雖然涉及到了九九，其目的卻并不是為了講九九，而是為了講分數乘法。這段引文實際上是說：×=?讀者不是學過2×3=6嗎?在此基礎上擴展一下，就會知道×=。×=?讀者不是學過4×4=16嗎?在此基礎上擴展一下，就會知道，×=。以此類推。通過上述分析，可以知道：《數》雖然涉及到了九九，但它的本意并不是為了講九九，而是為了在九九的基礎上，引導讀者學會分子為1的最簡單的分數乘法。這種教學方法無疑是非常簡單有效的。這就是《數》中的九九不全的原因。

　　這也說明，《數》的編寫者默認讀者已經會了九九，所以才在九九的基礎上進行引申教學。分析《九章算術》，也可以得出相同的結論。《九章算術》的開篇部分的前兩道算題是：今有田廣十五步，從十六步。問：為田幾何?答曰：一畝。又有田廣十二步，從十四步。問：為田幾何?答曰：一百六十八步。(《九章算術》卷一《方田章》)[9](P11)“廣”即為寬度，“從”同“縱”，即為長度。漢制一畝為二百四十步(實際上應該是二百四十平方步，古人在平方單位的用詞方面，有時不是很嚴格)。

　　這兩道算題，實際上是想告訴讀者：15×16=240，12×14=168。這么做，是為了幫助讀者在自己現有知識水平的基礎上，進行簡單的知識擴充，帶領讀者逐步深入到更高的數學層次。那么，《九章算術》假定讀者需要具有什么樣的數學知識呢?《九章算術》中，并沒有出現九九乘法的內容，而這兩條整數運算只是比九九乘法略難一點。這也表明：《九章算術》默認讀者會九九乘法和簡單的四則運算——九九乘法和整數的四則運算規則是孩童時期學習的東西，過于基礎，不需要講解。

　　(三)小結

　　上面的討論，既是縱向的，也是橫向的。說是縱向的，是指《數》反映的是秦代的情況，《算數書》反映的是秦、西漢初期的情況，《四民月令》反映的是西漢中期以后至東漢的情況，《九章算術》一般認為成書于兩漢之交，反映了此前的情況。它們涵蓋的時間范圍分別是：秦代、秦和西漢前期、西漢中后期到東漢時期、東漢前，將它們連起來，恰恰是一條較為完整的時間鏈。說是橫向的，是指得出結論的材料種類多種多樣，包括傳世史料、傳世數學文獻、出土數學文獻等，這些不同的材料都指向同一個結論，那么這個結論的可信性，無疑就大大增強了。

　　將這些縱向的、橫向的分析整合起來，就可以得出一個較為可靠的初步結論：秦漢時期，普通受教育者的數學教育，限于九九之類和基礎的四則運算，總體來說，他們的數學知識并不復雜。這個結論和蘇俊林先生通過分析走馬樓吳簡《嘉禾吏民田家莂》、倉受米牘中的數值計算，得出的結論——“孫吳時期……基層吏民的數值計算能力可能有整體偏低的傾向”[10](P327-348)——基本一致(只是蘇先生的研究側重于簡牘和孫吳時期)。

　　二、秦漢時期普通受教育者的計算能力推測

　　明確了普通受教育者的數學教育，緊接著的一個問題就是：只會九九乘法和基本的整數四則運算，數學能力可以達到什么樣的程度?假設一個人具備以下知識：(1)熟練背誦九九，(2)會0到9的整數加減法，(3)懂得算籌整數四則運算的基本規則。著名數學史家李儼先生在《中國算學史》一書中，對算籌有如下總結：“吾國古代算數用籌，初稱為策，算書多稱為算。漢、唐以后則多以籌、籌算、籌策、算籌諸名互用。而宋代以后，俗稱為算子。”[11](P59)算籌是當時最主要、最常見的計算工具，也是普通數學學習者所掌握的計算工具。

　　下面，我們來看一下，如果一個人具備了這三種知識，他可以達到什么樣的數學水平。根據《孫子算經》、《夏侯陽算經》的記載，會發現他在整數計算方面的數學知識并不是很低，可以處理比較復雜的整數乘除法運算。先看整數乘法，《孫子算經》中的整數乘法運算規則是：凡乘之法，重置其位。上下相觀，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千。

　　以上命下，所得之數列于中位。言十即過，不滿自如。上位乘訖者先去之。下位乘訖者則俱退之。六不積，五不只。上下相乘，至盡則已。[12](P2)這段記載其實比較簡單，復雜的是為了準確定位數位而進行的移位。簡單說，計算整數乘法時，要將乘數從最高位往下，不斷地乘以被乘數，一直到乘完為止。假設，要計算56×78，就要將乘法分解成如下步驟：(1)5×7=35，5×8=40。現在計算的時候，考慮到數位，需要在后面補充若干個0，在算籌中無需補0，這是因為算籌中的數字位置是錯開的，空格就表示0。明白了這一點，計算就會變得特別容易。

　　(2)6×7=42，6×8=48。(3)結合數位，將這些結果相加。再來看整數的除法運算。《孫子算經》中的整數除法運算規則是：凡除之法，與乘正異。乘得在中央，除得在上方。假令六為法，百為實。以六除百，當進之二等。令在正百下，以六除一，則法多而實少，不可除。故當退就十位。以法除實，言一六而折百為四十，故可除。若實多法少，自當百之，不當復退。故或步法十者置于十位，百者置于百位(頭位有空絕者，法退二位)。余法皆如乘時。實有余者，以法命之。以法為母，實余為子。[12](P2)整數除法與今天的計算方法幾乎完全一樣，都是從左到右除。差別只是算籌運算需要應用到移位。

　　《孫子算經》認為，這是乘法計算的逆運算，基本相同。通過上述分析，可以看出，運用算籌進行的整數乘除運算都比較簡單。整數乘法實際上，是整數加法和九九乘法表的混合運算;整數除法實際上，是整數減法和九九乘法表的混合運用。涉及的知識并不復雜。

　　因此，可以認為，秦漢時期普通受教育者，在算籌的幫助下，是可以解決比較復雜的整數乘除運算的。由此可見，秦漢時期的一名普通受教育者，只要能夠熟練背誦九九乘法表，會0到9的整數加減法，懂得算籌四則運算的基本規則，就能進行各種各樣復雜的整數四則運算。這些基本上能夠滿足他的日常生活需要。當然，正如上文提過的，《算數書》、《數》都是從簡單的分數計算開始的。這說明，分數計算可能并非人人都能掌握的基礎知識。這就在一定程度上限制了普通受教育者的數學水平。

　　三、數學知識不夠用怎么辦

　　既然秦漢時期普通受教育者的數學知識以九九為中心，那么就會有一個問題：這些知識夠用嗎?如果不夠用，那要怎么辦?邢義田先生已經對此有所說明，那就是在需要用到的時候，再進行學習。蘇俊林先生也說：“對于基層吏民而言……算術多為自學。”上文對《算數書》不記錄九九乘法和整數的四則運算的分析，也說明了同樣的道理。

　　另外，《算數書》并非成體系的數學著作，而是雜抄之作。由此想到的問題是：普通受教育者是如何使用《算數書》等數學著作的?如果是當成學習的工具，那么部分自學者的數學水平可能會比較高;如果只是當成套用的工具，在現實生活中有需求的時候，進行簡單的套用，那么就并不影響前面的結論。通過研究發現，《算數書》抄的時候粗枝大葉，沒有進行仔細分辨。

　　四、略論秦漢時期受教者的數學水平的三個層次

　　接下來在前面分析的基礎上，對秦漢時期運用數學的受教育者的數學水平，進行簡單的分類。秦漢時期的數學知識主要體現在《九章算術》、《算數書》、《數》等書中。學者們一般認為，這些書(尤其是《九章算術》)基本上代表了秦漢數學的最高水平。但是秦漢數學的最高水平，或者說是秦漢數學最高深的應用，并非《九章算術》為代表的生產生活中的實用數學，而應該是天文歷法。理由如下：

　　1.我國古代數學的產生和發展與天文歷法、農業有密切聯系。數學家最被統治者看重的在于天文歷法，數學最高深的應用在天文歷法，數學水平最高的人應該也是懂天文歷法的人。《漢書·律歷志》說數是管理天文歷法的“羲和掌之”，《漢書·藝文志》里沒有專門的數學類，而是把數學歸入歷譜類，原因可能都正在于此。古人對歷數的評價也是極盡幽隱、微妙，比如劉炫說：“天文律歷，窮覈微妙。”[14](P1720)這是普通的數學應用所達不到的。

　　2.檢索史籍可知，秦漢時期形容數學水平高深的數學家，用詞大都和歷法有關，比如張蒼“善用算律歷”，《漢書·藝文志》說他著有《張蒼》16篇，歸入陰陽家，又說“陰陽家者流，蓋出于羲和之官”。[13(]P1733-1734)這些都說明張蒼所長在于和天文歷算結合的數學。比如著有《許商算術》的“(許)商善為算，著《五行論歷》”，[13(]P3604)班固在總結許商的成就時，強調《五行論歷》，而不提《許商算術》，說明天文歷法類數學，比應用型數學更重要。

　　比如鄭玄擅長《三統歷》。我在檢索資料的過程中發現，古人所說擅長“九數”、《九章算術》者，幾乎全都是指擅長歷法的人。這似乎說明整個古代，數學最重要、最高深的應用都是天文歷法方面，擅長天文歷法才能被稱為擅長數學。綜上所述，初步將秦漢時期受教育者的數學水平分為三個層次：普通的受教育者，學習九九乘法表和基本的四則運算;具有一定水平的數學家，研究數學在日常中的應用;水平最高的數學家，關注天文歷算。當然，由于材料的缺乏，這個結論需要完善的地方還很多，不足之處，敬請指正。

　　參考文獻：

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　　[2]韓嬰撰，許維遟校釋.韓詩外傳[M].北京：中華書局，1980.

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　　[7]彭浩.張家山漢簡《算數書》注釋[M].北京：文物出版社，2001.

　　[8]朱漢民，陳松長主編.岳麓書院藏秦簡(貳)[M].上海：上海辭書出版社，2011.

　　作者：衣撫生